lunes, 4 de junio de 2012
sábado, 2 de junio de 2012
Calculo Diferencial
Calculo Diferencial
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
INTRODUCCIÓN
La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar
con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad
de contar, comienza la historia del cálculo, o de las matemáticas.
Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más
útiles. El concepto de matemáticas, se comenzó a formar, desde que el hombre
vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó a la creación de
sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los
dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la
implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría
de los problemas que se presentaban con continuidad.
CIVILIZACIONES ANTIGUAS
En este momento de la historia, la Civilización Egipcia, llevaba la pauta con el
avance en sus conocimientos matemáticos. Según varios papiros escritos en esa
época, los egipcios inventaron el primer sistema de numeración, basado en la
implementación de jeroglíficos. El sistema de numeración egipcio, se basaba en
sustituir los números clave (1, 10, 100...), con figuras (palos, lazos, figuras
humanas...), los demás números eran escritos por la superposición de estas
mismas figuras, pero en clave. Este sistema es la pauta para lo que hoy
conocemos como el sistema romano.
Otras civilizaciones importantes en la historia, como la babilónica, crearon otros
sistemas de numeración. En la Antigua Babilonia, la solución al problema de
contar los objetos, se vio resuelto con la implementación de un método
sexagesimal. Este método tenía la particularidad de escribir un mismo signo como
la representación de varios números diferenciados por el enunciado del problema.
Civilizaciones como la China Antigua, y la India Antigua, utilizaron un sistema
decimal jeroglífico, con la cualidad de que estas implementaron el número cero.
Los avances obtenidos desde que cada cultura implemento su sistema numérico,
aún son utilizados actualmente. El avance algebraico de los egipcios, dio como
resultado la resolución a ecuaciones de tipo . La correcta
implementación de la regla aritmética de cálculo, por parte de los Indios, aumentó
el conocimiento matemático, y la creación de los números irracionales, a demás
que ayudó a la resolución de sistemas de ecuaciones de la forma .
En la Antigua Mesopotamia, se introduce el concepto de número inverso, a demás
de las soluciones a distintos problemas logarítmicos, e incluso lograron la solución
a sistemas de ecuaciones de la forma , y . Su avance fue tal
que crearon algoritmos para el cálculo de sumas de progresiones. Y en geometría,
se cree que conocían el teorema de Pitágoras, aunque no como un teorema
general.
China sin duda tubo que ver en gran medida en el avance matemático. Su aporte
principal se basaba en la creación del "método del elemento celeste", desarrollado
porChouShiHié, con el cual era posible la resolución de raíces enteras y
racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma
Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao.
RENACIMIENTO Y MATEMÁTICAS MODERNAS
En relación con el análisis matemático en este siglo, se
fundamento en un conjunto de procedimientos y métodos de
solución de numerosos problemas que crecía rápidamente. Todos
estos métodos aun podían dividirse en tres grandes grupos,
constituidos en el cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría
de ecuaciones diferenciales. Con estos fundamentos se llegó a lo
que se conoce como teoría de límites y de funciones, que fueron el tema central
en este siglo.
Bernard Bolzano, fue el pionero en el análisis de funciones, en sus trabajos
estudio del criterio de convergencia de sucesiones y dio una definición rigurosa de
continuidad de funciones. Estudió profundamente las propiedades de las
funciones continuas y demostró en relación con éstas una serie de notables
teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una función continua
toma todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo.
También amplió la clase de curvas continuas, aplicando el método de
acumulación de singularidades y obtuvo, entre otras funciones originales, la
función que no tiene derivada en ningún punto y conocida actualmente como
función de Bolzano.
Otro de los grandes avances obtenidos en esta época, fue la introducción de la
variable compleja, con ella se pudieron resolver los cálculos de integrales, lo que
ejerció una grandísima influencia sobre el desarrollo de la teoría de funciones de
variable compleja. Matemáticos como Laplace acudieron a la interpretación en
variable compleja, con lo que fue desarrollando el método de resolución de
ecuaciones lineales diferenciales.
Ya en el siglo VII, es cuando se hacen populares la construcción de academias
reconocidas en el ámbito de las matemáticas, como la Academia de Londres y
París. En este siglo es cuando comienzan todas las disciplinas matemáticas
actuales, como la geometría analítica, los métodos diferenciales e infinitesimales,
y el cálculo de probabilidades.
La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso,
cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación teórica
de los elementos del cálculo diferencial e integral y la teoría de las series. Para el
desarrollo de este proceso se contaba con: el álgebra; las técnicas de cálculo;
introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas
infinitesimales clásicas, especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas;
búsqueda de tangentes. Las causas que motivaron este proceso fueron, en primer
término, las exigencias de la mecánica, la astronomía y la física. En la resolución
de problemas de este género, en la búsqueda de problemas generales de
resolución y en la creación del análisis infinitesimal tomaron parte muchos
científicos: KEPLER, GALILEO, CAVALIERI, TORRICELLI, PASCAL, WALIS,
ROBERVAL, FERMAT, DESCARTES, BARROW, NEWTON, LEIBNIZ y EULER.
El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el
movimiento, es decir al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vació ya que
cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse,
teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente
pequeño.
En 1666, el científico inglés ISAAC NEWTON fue el
primero en desarrollar métodos matemáticos para
resolver problemas de esta índole.
Casi al mismo tiempo el filósofo y matemático alemán
GOTTFRIED LEIBNIZ realizó investigaciones similares e
ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta
nuestros días.
De igual forma, otros matemáticos destacan por
haber hecho trabajos importantes relacionados con el
cálculo diferencial, entre ellos sobresale PIERRE
FERMAT, matemático francés, quien en su obra habla
de los métodos diseñados para determinar los
máximos y mínimos acercándose así al descubrimiento
del Cálculo diferencial.
Isaac Newton (1642-1727)
FERMAT dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época
era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que
frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse
el éxito para sí mismo y para su nación; ya que había una gran rivalidad entre los
Franceses, Alemanes y los Ingleses. Razón por la que las demostraciones de
FERMAT se hayan perdido.
NICOLAS ORESME, obispo de la comunidad de Lisieux, Francia, estableció que
en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima
o mínima, dicha ordenada varía más pausadamente.
JOHANNES KEPLER tiempo después, coincide con lo establecido por ORESME,
conceptos que permitieron a FERMAT en su estudio de máximos y mínimos, las
tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la función, debido a que
la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su máximo o su
mínimo, es decir, la función es paralela al eje “x” donde la pendiente de la
tangente es nula.
ISAAC BARROW maestro de NEWTON, quien por medio del “triangulo
característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus
catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las
ordenadas de los extremos del arco.
NEWTON concibió el método de las “fluxiones”, considerando a la curva como la
trayectoria de un punto que fluye; denomina “momento” de la cantidad fluente al
arco mucho muy corto recorrido en un tiempo excesivamente pequeño, llamando
la razón del momento al tiempo correspondiente, es decir, la velocidad.
Por lo tanto, “fluente” es la cantidad variable que se identifica como “función”;
“fluxión” es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se identifica como
la “derivada”; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se le llama
“momento” que se identifica como la “diferencial”.
El principio establece que: “los momentos de las funciones son entre sí como
sus derivadas”.
La concepción de LEIBNIZ se logra al estudiar
el problema de las tangentes y su inverso,
basándose en el triángulo característico de
BARROW, observando que el triángulo es
semejante al que se forma con la tangente, la
subtangente y la ordenada del punto de
tangencia, así mismo, es igual al triángulo
formado por la normal, la subnormal y la
ordenada del mismo punto. Los símbolos “dx,
dy/dx”, la palabra “derivada” y el nombre de
“ecuaciones diferenciales” se deben a LEIBNIZ.
AGUSTIN LÓUIS CAUCHY matemático
francés, impulsor del cálculo diferencial e
integral autor de la teoría de las funciones de las
variables complejas, basándose para ello en el
método de los límites; las definiciones de
“función de función” y la de “función compuesta”, Gottfried Leibniz (1646-1716)
también se deben a CAUCHY.
JACOBO BERNOULLI introduce la palabra “función” en el cálculo diferencial y la
simbología “f(x)” se debe a LEONARD EULER; ambos matemáticos suizos.
JOHN SIMON LHUILIER; el símbolo tiende a “ ” lo implantó J.G
LEATHEM.
Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del cálculo diferencial se
deben a NEWTON y a LEIBNIZ; sin embargo, por más de 150 años el cálculo
diferencial continúo basándose en el concepto de lo infinitesimal.
En el siglo XIX se han encontrado bases más firmes y lógicas al margen de lo
infinitamente pequeño.
El cálculo diferencial se ha ido desarrollando a través de los años,
consolidándose en una herramienta técnico-científica que se utiliza en el análisis
de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo; la
velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos
sociales y económicos de las naciones, en la astronomía, la estadística, etc.
A NEWTON y a LEIBNIZ se les llama fundadores del cálculo ya que fueron los
primeros en estudiar el problema geométrico fundamental del cálculo diferencial,
que se denomina: “Problema de las Tangentes” en el cual hay que hallar las
rectas tangentes a una curva dada.
La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente,
acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual.
Introducir el cálculo integral, se logró con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió
el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler
quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los
métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El
cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el
descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones
especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las
funciones elípticas.
Funcion
El concepto de función es de suma importancia en la matemática, debido a esto
vamos a estudiar este tema de una manera un poco detallada.
Dos conjuntos de números, por ejemplo, pueden estar relacionados de varias
maneras mediante alguna regla o fórmula determinada; empero nos interesa una
forma particular de relación entre dichos conjuntos, la cual recibe el nombre de
función.
(A continuación, se observa la gráfica de una función f de dos variables independientes).
Definición de función: Una función, denotada por f, es una correspondencia
entre los elementos de dos conjuntos de tal forma que a cada elemento de un
conjuntoX se asocia un único elemento de otro conjunto Y.
Al conjunto X se llama dominio de la función y al conjunto Y, contradominio o
dominio de imágenes de la función.
La notación utilizada para indicar que "f es una función de X en Y " es la siguiente:
ƒ: X Y
Si x € X, el elemento de Y que le corresponda a x se llama imagen de x, se
denota por ƒ (x) y se lee “ƒ de x”.
Función de n – variables independientes: Una función de ƒ de n variables es
un conjunto de pares ordenados (P, w) en el cual dos pares ordenados diferentes
no tienen el mismo primer elemento. P es un punto en el espacio numérico n –
dimensional y w es un # real. El conjunto de todos los valores posibles de P se
llama dominio de ƒ y el conjunto de los posibles valores de w se llama
contradominio, codominio o dominio de imágenes de ƒ.
Una función de ƒ de n variable se puede definir con la siguiente ecuación:
w = ƒ (x 1, x 2,….xn).
DOMINIO Y CONTRADOMINIO DE FUNCIONES
DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES
Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos
entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función
se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con
uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y
rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del
dominio con dos elementos del codominio.
Figura 1. Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos
del condominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del condominio, sin importar si
los elementos del condominio puedan estar relacionados con dos o más del condominio.
Donde se dice que f: A →B (f es una función de A en B, o f es una función que
toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B).
Al definir la función como el conjunto de pares ordenados de números reales
(x, y) tales que dos pares distintos no tienen el mismo primer elemento; al
conjunto de todos los valores de los primeros elementos (x) de los pares
ordenados, se le denomina DOMINIO DE LA FUNCIÓN y se denota por “Df”; al
conjunto de todos los valores de los segundos elementos (y) y de los pares
ordenados, se le denomina RANGO DE LA FUNCIÓN y se denota por “Rf”.
También la función se define como la relación entre dos variables, en donde la
primera (y) depende de la otra variable (x); si a cada valor de “x” le corresponde
un solo valor de “y” se establece que “y es función de x”; así tenemos que “x” es
la variable independiente y “y” es la variable dependiente o función.
El dominio de una función puede describirse de manera explícita, o bien puede
describirseimplícitamente mediante una ecuación usada para definir la función.
El dominio implícito es el conjunto de todos los números reales para los que la
ecuación está definida, en tanto que un dominio definido de manera explícita es
aquel que se da con la función. Por ejemplo, el dominio de la función f (x) =
x−1 es el conjunto de todos los valores que x – 1 > 0, el cual es el intervalo [0,
∞)], como se indica en la siguiente figura:
A continuación se presenta un problema demostrativo de dominio y
contradominio:
Limites
El imite de una función es fundamental para el estudio dl calculo y tiene un sentido similar al mencionado anterior .por ello su estudio es básico para la comprecion de temas como el derivar de una función
Notación de limite
En matemáticas, el concepto de limite se define formalmente,pero esta difinicion queda fuera del odjetivo.
De manera instructiva y formal,podemos decir que el limite de una función es el valor al que sus imágenes
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.- Al explicar la definición de límite se utilizaron
sin mención formal, algunas propiedades fundamentales de la noción de los
límites; una relación de las mismas se presenta a continuación.
1.- Si “c” es una constante, el límite de de “c” cuando “x” tiende a “a”, es igual a
“c”.
Existen varios casos para calcular el límite de una función; en los ejemplos
anteriores se ha aplicado el primer caso que establece:
CASO I.- Sí la función dada, está totalmente simplificada, se sustituye
directamente el valor a que tiende la variable independiente en la función, dando
ligar al límite buscado.
Al ir aplicando las propiedades de los límites en la determinación del límite de
funciones se ha observado que al sustituir directamente la variable independiente
de la función, por el valor a que tiende dicha variable, se encuentra el límite de la
función.
EJEMPLOS:
FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO (0 / 0)
Al calcular el límite de un cociente, se ha observado que:
a).- Sí el numerador y el denominador tienen límite distinto de cero, el límite del
cociente es igual al cociente de los límites.
b).- Sí el límite del numerador es cero y el del denominador es diferente de cero,
el límite del cociente es igual a cero.
c).- Sí el límite del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, el
cociente no tiene límite y se establece que tiende a más o menos infinito ( ± ∞ ),
según el caso.
d).- Sí los límites del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, se
tiene la forma (0 / 0), que se denomina indeterminada ya que cualquier valor
numérico que se ponga como cociente cumple con la condición de que
multiplicado por el divisor da lugar al dividendo.
La indeterminación se puede eliminar mediante operaciones algebraicas
sencillas, por ejemplo:
De este ejemplo se obtiene:
CASO III.- Para calcular el límite de una función dada, es necesario simplificarla
mediante la racionalización del numerador o del denominador, antes de sustituir
el valor de la variable independiente directamente en la expresión, ya que el no
hacerlo, da lugar a la indeterminación (0, 0)
Uno de los límites más importantes en el estudio del cálculo diferencial para
cualquier función se determina por la fórmula:
De lo anterior se concluye en que existen ciertos límites que generalmente se
presentan cuando la variable “x” tiende a cero ó al infinito, los cuales se enuncian
a continuación:
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